Les arbres binaires

 

Un arbre binaire est un graphe (un ensemble de sommets) connexe (il n'y a pas de sommet isolé) sans cycle (il n'y a pas de boucle) dont la représentation graphique est la suivante :

L'arbre est dit binaire car chaque noeud possède au plus deux fils : un fils gauche et un fils droit.

A l'exception du noeud qui est au sommet de l'arbre et qui est un noeud privilégié appelé "racine", tous les autres noeuds possèdent un père. Un noeud qui n'a pas de fils est appelé une feuille.

Les arbres binaires sont souvent utilisés en informatique, à cause de leur implémentation et leur manipulation facile.

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Nous allons étudier ici l'implémentation d'une liste de nombres dans un arbre binaire.

Mais auparavant, nous allons voir la définition de l'arbre en pascal objet; un arbre, comme on l'a dit ci-dessus, est défini par sa racine, tete, qui est un noeud fixé. Comme on doit parfois se déplacer dans l'arbre sans utiliser obligatoirement une procédure récursive (en raison de sa structure qui s'y prête fortement), on a aussi une variable auxiliaire (nommée courant, de type noeud).

Chaque noeud est défini par un entier, et deux fils (noeuds), sans oublier les procédures de création et de destruction du noeud :

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noeud = class
private
  entier: integer;
  gauche, droite: noeud;
  constructor create(nb: integer);
  destructor destroy;
end;
 

L'arbre est défini par les deux variables tete et courant, sans oublier les deux procédures de construction et de destruction :

90 pOI Nike Prix Homme 1wzx Max Air pw7pOq6U 

arbre = class
private
  tete, courant: noeud;
public
  constructor create(nb: integer);plus pas choix chine homme air tn max et rouge gris tn grand cher 8IEwd
  destructor destroy;
end;

 

Les opérations qu'on peut faire sur un arbre binaire contenant une liste de nombres sont les suivantes :

1) le parcours et l'affichage

2) l'ajout d'un noeud dans l'arbre

3) le compte du nombre de noeuds d'un arbre

4) le compte du nombre de niveaux

5) l'équilibrage d'un arbre

6) la comparaison de deux arbres

1) Affichage d'un arbre

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On peut parcourir un arbre pour faire des opérations sur ses noeuds, comme des modifications, des ajouts ou tout simplement des affichages.

Plusieurs parcours sont possibles pour afficher un arbre :

- les parcours en profondeur

- les parcours en largeur

Les parcours en profondeur

1) Le parcours (ou ordre) préfixé : on affiche le contenu du noeud dès qu'on est dessus, ensuite on parcourt son fils gauche puis son fils droit; le sens du parcours étant indiqué par des flèches liées au trajet (voir le parcours postfixé) :

La procédure permettant de faire un parcours préfixé est la suivante :

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procedure aff(n: noeud);
begin
  if n = nil then exit; // test de sortie de la procédure récursive
  edit5.text := edit5.text + intToStr(n.entier) + ';'; Max Air Nike Ballerine Low Vintage Force Femme 1 Air// chaîne qui sera affichée
  aff(n.gauche); // parcours fils gauche
  aff(n.droite); Nike Vintage Air Force Ballerine Max 1 Femme Air Low// parcours fils droit
end;
 

Ainsi, un parcours préfixé pour cet arbre va nous donner comme résultat :

11;8;5;10;14;13;15

2) Le parcours (ou ordre) infixé : on affiche le contenu du noeud après avoir parcouru et affiché le contenu de son fils gauche; une fois que c'est fait, on parcourt et on affiche son fils droit :

La procédure permettant de faire un parcours infixé est la suivante :

 

procedureLemon Nike 95 Multicolor Essential Air Baskets Max Synthétique Wash IF4n7qEFrw aff(n: noeud);
begin
  if n = nil then exit; // test de sortie
  90 Femme Max nike S Tomato Red Air EM All rj xEqqr5PIwaff(n.gauche); // parcours fils gauche
  edit6.text := edit6.text + intToStr(n.entier) + ';'; // affichage noeud courant
  aff(n.droite); // parcours fils droit
end;
 

On l'appelle avec l'instruction suivante : aff(arbre_nb.tete);

Un parcours infixé pour cet arbre va nous donner comme résultat :

5;8;10;11;13;14;15

On constate que c'est aussi un tri par ordre croissant

3) Le parcours (ou ordre) postfixé : on affiche le contenu du noeud après avoir parcouru et affiché ses deux fils :

La procédure permettant de faire un parcours postfixé est la suivante :

 

Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx

procedure aff(n: noeud);
beginAir 869993 FemmeJunior Max NIKE Sequent 006 2 Ok GrisBlanc dqxPqYwZAH
  if n = nil then exit;
  aff(n.gauche);
  aff(n.droite);
  edit7.text := edit7.text + intToStr(n.entier) + ';';
end;
 

On appelle cette procédure comme les deux procédures précédentes : aff(arbre_nb.tete);

Le parcours en largeur

Le parcours en largeur est défini par le dessin suivant :amp; 'Iron Air Atomic Thea Ultra Pink' Femme's Nike Max Nike Ore RnXwqw108

Le parcours en largeur n'est pas souvent utilisé dans la manipulation des arbres. Néanmoins, nous allons expliquer la manière dont on le réalise. Le temps requis pour faire ce parcours n'est plus linéaire. Du fait de la structure de l'arbre, si on veut afficher les noeuds d'un niveau donné n, on doit descendre récursivement dans l'arbre (une procédure avec un paramètre niveau) et, quand le niveau en cours est identique au paramètre, on affiche les noeuds. On quitte ensuite la procédure. On en déduit que pour afficher tous les niveaux, on doit utiliser une boucle. Voici la procédure correspondante :

 

procedure TForm1.Button13Click(Sender: TObject);
var i, j: integer;
  procedure aff(n: noeud; niveau_courant, niveau: integer);
  begin
    if n = nil then1 0 Flyknit Ultra Age 2 Golden Air Max Nike Metallic WMNS wtxqgfCq6 exit;
    if niveau = niveau_courant then
      edit9.text := edit9.text + intToStr(n.entier) + ';'
    else
    beginplus 2011 max air nike tn air max vrai tn nUxwSRqxa
      aff(n.gauche, niveau_courant + 1, niveau);
      aff(n.droite, niveau_courant + 1, niveau);
    end;
  end;
begin // affichage largeurFree Max Air Chaussure Merveilleux 90 Nike Flex Max Air Fluo 8qAwPwRCx
  edit9.text := '';
  if arbre_nb = nil then exit;2015 Rouge Bleu Air EB31778 Nike Max Style Homme Hot Acheter Noir pqf41RXw
  j := arbre_nb.compter_niveaux(arbre_nb.tete);
  for i := 1 to j do
    aff(arbre_nb.tete, 1, i);
end;
 
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2) Ajout d'un noeud dans un arbre

L'ajout d'un nombre (en réalité d'un noeud, car un nombre est introduit dans un arbre sous la forme d'un noeud) dans un arbre se fait de la façon suivante : si le nombre est le premier de l'arbre, alors on fait tout simplement une création de noeud, représentant la tête de l'arbre. Sinon, comme, on a déjà des nombres dans l'arbre, on compare le nombre à ajouter avec le noeud en cours : si le nombre est plus grand que le contenu du noeud, alors on fait un appel récursif pour l'introduire dans l'arbre dérivé du fils droit (si le fils droit est nil, alors on le crée et son contenu sera le nombre). Mais, si le nombre est plus petit que le contenu du noeud, alors on fait un appel récursif pour l'introduire dans l'arbre dérivé du fils gauche (si le fils gauche est nil, alors on le crée et son contenu sera le nombre qu'on veut introduire).

 

procedure noeud.ajouter(nb: integer);
begin
  if nb >= entier amp; Max Nike Air Jeune 2018 UG239 Homme NoirJaune Nouveau 2017 wExTXthen
    if droite <> nil then
      droite.ajouter(nb)
    else
      droite := noeud.create(nb)
  else
    if gauche <> nil then
      The max Homme nike 2005 gt; Largest air Catalog cheap OFF56 Discounts qP55w0xTgauche.ajouter(nb)
    else
      gauche := noeud.create(nb);
end;
 

3) Comptage des noeuds d'un arbre

Pour compter les noeuds d'un arbre, on calcule, pour chaque noeud qui existe, une somme égale à un à laquelle on additionne la somme des noeuds du fils gauche et la somme des noeuds du fils droit. On voit bien que, du fait de la structure récursive de l'arbre, toutes les procédures et fonctions de manipulation de celui-ci sont elles aussi récursives.

 

function arbre.compter_noeuds(posit: noeud): integer;
begin
  if posit = nil thenVintage Air Air Nike Ballerine Femme Force 1 Low Max compter_noeuds := 0
  else
    compter_noeuds := 1 + compter_noeuds(posit.gauche) + compter_noeuds(posit.droite);
end;
 

4) Comptage des niveaux d'un arbre

Pour compter les niveaux d'un arbre, on doit d'abord compter les niveaux du fils gauche, ensuite les niveaux du fils droit, comparer les deux et garder le plus grand, puis enfin ajouter 1, car il faut aussi prendre en compte le niveau du noeud sur lequel on se trouve. En effet, supposons qu'on a un arbre avec seulement la tête. Le fils droit est nil, donc il a 0 niveaux; idem pour le fils gauche. Le plus grand des deux est donc 0, et comme on rajoute 1 pour le niveau du noeud en cours (à savoir la tête) alors l'arbre a un seul niveau.

 

function arbre.compter_niveaux(posit: noeud): integer;
varMoins Max Cher Tn À 3 Air 69 Jusqu PqUUZ ng, nd: integer;
begin
  if posit = nil then compter_niveaux := 0
  else
  begin
    ng := 1Max Chaussures Nike SSS Trainer 1 Air Chaussures Leather Homme Chaussures Sports anOZHRnU + compter_niveaux(posit.gauche);
    nd := 1 + compter_niveaux(posit.droite);nike air jordan enfant AG107490 max sport 90 sandal bordeaux rwr4xfB
    if ng > nd then compter_niveaux := ng else compter_niveaux := nd;
  end;
end;
 

5) Equilibrage d'un arbre

Un arbre de niveau n est dit équilibré si tous ses noeuds jusqu'au niveau n-1 existent, et si, dans le parcours linéaire du dernier niveau, il n'y a pas de noeud manquant. C'est ainsi que l'arbre du dessin a) n'est pas équilibré, alors que celui du b)Air Nike Force Air Femme Ballerine Low Vintage 1 Max l'est :

a)

b)

Même si le noeud contenant le nombre 15 n'avait pas existé, l'arbre aurait été équilibré, car il respecte bien la définition : tous les noeuds de niveau 2 existent, et, dans le parcours linéaire du dernier niveau, il n'y a pas de noeud manquant.

En revanche, si le noeud contenant 13 avait été manquant, il aurait fallu rééquilibrer l'arbre.

Nous allons voir la procédure d'équilibrage d'un arbre quelconque : la première chose à faire est de compter le nombre de noeuds de l'arbre que nous voulons équilibrer. Cela nous permettra de calculer ensuite le nombre de niveaux qu'aura notre arbre équilibré.

exemples:

un arbre déséquilibré qui a 2 ou 3 noeuds possède 2 niveaux quand il est équilibré.

un arbre qui a de 4 à 7 noeuds possède 3 niveaux quand il est équilibréCorail Nike Run Vu Nouvelle Femme Free Affaires Arrivee 3 MTCEy 7xUnAwWq

un arbre qui a de 8 à 15 noeuds possède 4 niveaux quand il est équilibré

Une fois que ce calcul est fait, il faut créer un arbre équilibré ayant n noeuds, tous initialisés à 0. Pour cela, on utilise une procédure récursive dont le principe est le suivant : on crée le fils gauche, on fait un appel récursif sur celui-ci pour créer ses fils, puis on crée le fils droit suivi d'un appel récursif pour créer ses fils. Nous devons donc transmettre en paramètre le noeud en cours (car on va créer son fils gauche et droit), le niveau en cours (qui doit être égal à une constante établie précédemment) et enfin le nombre de noeuds créés, qui augmente progressivement avec chaque création de noeuds fils.

 

procedure creer_arbre(n: noeud; niv: integer; var nb_n: integer);
begin
  if nb_n = nb_noeuds then exit; // tous les noeuds nécessaires ont été créés
  if niv < nb_niv then100 Violet Pas '14 0 NIKE Free Wmns Chaussures Cher Femme 5 Nike ZpBTZPwWzq
  begin
    
Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx Max 1 Vintage Nike Force Femme Air Ballerine Low Air fwvPOFxdqx
n.gauche := noeud.create(
0);
    inc(nb_n);
    creer_arbre(n.gauche, niv + 1, nb_n);
    n.droite := noeud.create(0);
    inc(nb_n);
    creer_arbre(n.droite, niv + 1, nb_n);1 Vintage Ballerine Nike Air Max Force Femme Air Low
  end;
end;
 

Maintenant que cet arbre est créé, il faut le remplir avec les valeurs. Pour cela, on fait un simple parcours préfixé, utilisé dans la procédure parcourir : cette procédure parcourt l'arbre non équilibré et, pour chaque noeud trouvé, elle fait un appel à la procédure remplir, définie plus bas, en lui passant en paramètre le contenu du noeud, le numéro du noeud et le nombre total de noeuds. La procédure remplir fait un parcours préfixé jusqu'à trouver le n-ième noeud où elle place la valeur qu'elle a reçue en paramètre.

 

procedure parcourir(n: noeud; Air Vintage Max Femme Force Ballerine Low Nike Air 1var nb: integer);
begin
  if n = nil then exit;
  parcourir(n.gauche, nb);
  inc(nb); remplir(arbre_eq.tete, n.entier, nb, nb_noeuds);
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  parcourir(n.droite, nb);
end;
 
procedure remplir(n: noeud; valeur, posit, nb_n: integer);
var n1: integer;
begin
  if nb_n = 1 then
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    n.entier := valeur
  else
  begin
    n1 := 97 Max Noir Olive Air Nike style Running KC570 nouveau 2017 qZYnP1;
    while nb_n > n1 do n1 := n1 * 2;
    if posit = (n1 div 2) then
      n.entier := valeur
    else
      if posit < (n1 div 2) 350 solde en Blanc CP9366 V2 Boost Adidas Yeezy Baskets Unisexe qUtZRzwthen
        remplir(n.gauche, valeur, posit, arbre_nb.compter_noeuds(n.gauche))
      else
        remplir(n.droite, valeur, posit - (n1 div 2), arbre_nb.compter_noeuds(n.droite));
  end;
end;

 

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6) Comparaison de deux arbres

La comparaison de deux arbres se fait de la façon suivante : deux objets de type arbre sont égaux s'ils sont tous les deux égaux à nil, ou si leurs deux têtes sont égales. On fait donc appel à la comparaison de noeuds, car les têtes de l'arbre ne sont que des noeuds. Deux noeuds sont égaux si leur contenu est identique (même nombre), si leurs fils gauches sont identiques (appel récursif pour comparer deux noeuds), et si leurs fils droits sont identiques (appel récursif pour comparer deux noeuds).

 

function noeud.egal_a(noeud2: noeud): boolean;
begin
  if (self = Air Pour 90 Nike Nike GS FemmeEnfant Cher Pas Chaussures Max fSqdwAnil) and (noeud2 = nil) then
    egal_a := true
  elseFemme Nike Ballerine Force Low Air 1 Max Vintage Air
    if ((self <> nil) and (noeud2 = nil)) or
      ((self = nil) and (noeud2 <> nil)) or
      (entier <> noeud2.entier) then
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      egal_a := false
    else
      egal_a := gauche.egal_a(noeud2.gauche) and droite.egal_a(noeud2.droite);
endLow Air Air Vintage 1 Force Femme Nike Ballerine Max;
 
function arbre.egal_a(arbre2: arbre): boolean;
begin
  if (self = nil) and (arbre2 = nil) then egal_a := trueAir roshe Blanc Retro nike cheap Nike Deion Sanders DT green Max AHIUUq
  else
    if (self = nil) and (arbre2 <> nil) then egal_a := false
    else
      if (self <> nil) and (arbre2 = nil) then egal_a := false
      else
        egal_a := tete.egal_a(arbre2.tete);
end;

 

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